Sjakk og matematikk: tall, logikk og mønstre på de 64 feltene

Sjakk og matematikk nevnes ofte i samme åndedrag. Begge handler om regler, mønstre og logiske slutninger, og mange tenker at et barn som er flink i sjakk, automatisk blir flinkere i matte.

Sannheten er litt mer nyansert, men også mer interessant. Sjakkbrettet er fullt av matematikk, fra koordinatsystemet som gir hvert felt et navn, til regnestykker som vokser seg større enn det menneskehjernen kan forestille seg.

I denne artikkelen ser vi på hvor matematikken gjemmer seg i sjakk, noen klassiske sjakkoppgaver for matteinteresserte, og hva forskningen faktisk sier om sjakk som matteverktøy.

Sjakkbrettet er et koordinatsystem

Et sjakkbrett har 8 × 8 = 64 felt. Hvert felt har et eget navn, satt sammen av en bokstav og et tall:

• Linjene er de loddrette radene, og har bokstavene a til h fra venstre mot høyre, sett fra hvit side.
• Radene er de vannrette radene, og har tallene 1 til 8, fra hvits side mot svarts side.

Feltet e4 ligger altså der linje e krysser rad 4. Dette er i praksis et koordinatsystem, der hvert punkt beskrives med to verdier, akkurat som x og y i matematikktimen.

Koblingen er ikke bare en morsom tilfeldighet. I den gjeldende læreplanen i matematikk skal elever etter 3. trinn blant annet kunne eksperimentere med, navngi og plassere punkter i koordinatsystemet, og lage og følge regler i lek og spill knyttet til det. Et sjakkbrett er et av de mest konkrete koordinatsystemene et barn kan få i hendene.

Brikkeverdier: hoderegning i hvert trekk

For å vurdere om et bytte lønner seg, bruker sjakkspillere et enkelt poengsystem. Verdiene er ikke en del av de offisielle reglene, men en tommelfingerregel nesten alle lærer seg:

Hver side starter med 8 bønder, 2 springere, 2 løpere, 2 tårn og 1 dronning. Det gir 8 + 6 + 6 + 10 + 9 = 39 poeng med materiell per side.

Brikkeverdiene gjør sjakk til en kontinuerlig øvelse i addisjon og subtraksjon:

• Gir du bort et tårn (5) og får en løper og en springer tilbake (3 + 3 = 6), har du vunnet ett poeng.
• Bytter du dronningen (9) mot et tårn og en løper (5 + 3 = 8), har du tapt ett poeng.

Eksempel: tell materiellet

Tenk deg at hvit har D, 2 T, 1 L og 5 bønder, mens svart har 2 T, 2 L, 1 S og 6 bønder.

• Hvit: 9 + 10 + 3 + 5 = 27
• Svart: 10 + 6 + 3 + 6 = 25

Hvit leder med 2 poeng. Materiell er likevel bare én faktor. Kongesikkerhet, brikkeaktivitet og bondestruktur avgjør ofte mer enn poengsummen.

Sjakkbrettlegenden: når dobling blir svimlende

En av de eldste historiene om sjakk handler om oppfinneren av spillet, som ba herskeren om en tilsynelatende beskjeden belønning. Han ville ha ett korn på det første feltet, to på det andre, fire på det tredje, og slik videre, med dobbelt så mange korn på hvert nytt felt.

Historien er en legende, men matematikken er ekte. Antallet korn på hvert felt er en potens av 2, og veksten kalles eksponentiell. Det betyr at tallet ganges med det samme tallet for hvert steg, i stedet for å øke med et fast antall.

Summen for hele brettet er 2⁶⁴ − 1. Bare det siste feltet alene skulle hatt over 9 trillioner korn. Legenden brukes i matematikkundervisning over hele verden for å vise hvor raskt dobling vokser.

Hvor mange sjakkpartier finnes det?

Et sjakkparti begynner enkelt. Hvit har 20 mulige første trekk: 16 bondetrekk og 4 springertrekk. Svart har også 20 mulige svar.

Deretter eksploderer tallene:

Den amerikanske matematikeren Claude Shannon gjorde i 1950 et grovt overslag over hvor mange ulike partier som er mulige. Han antok at et parti varer rundt 40 trekk for hver spiller, og at det finnes omtrent 1 000 kombinasjoner av hvite og svarte trekk per runde. Da blir svaret omtrent 10¹²⁰, altså et ettall med 120 nuller. Tallet kalles Shannon-tallet.

Det er denne enorme mengden muligheter som gjør at sjakk fortsatt ikke er «løst». Selv de sterkeste sjakkmotorene kan ikke regne gjennom alle varianter, men må velge ut de mest lovende trekkene.

Klassiske sjakkoppgaver for matteinteresserte

Sjakkbrettet har inspirert matematikere i flere hundre år. To oppgaver er spesielt kjente:

Åtte dronninger-problemet

Oppgaven er å plassere åtte dronninger på brettet slik at ingen av dem angriper hverandre, verken vannrett, loddrett eller diagonalt. Det finnes 92 løsninger. Regner man speilvendte og roterte løsninger som én, finnes det 12 grunnleggende forskjellige løsninger.

Problemet brukes i dag som eksempel i programmering, fordi det viser hvordan en datamaskin systematisk kan prøve og forkaste muligheter.

Springerturen

Her skal springeren besøke alle 64 feltene nøyaktig én gang, med vanlige springertrekk. Det er mulig, og det finnes svært mange ulike ruter. Oppgaven trener evnen til å planlegge flere steg fram og se mønstre, og den har vært studert av matematikere siden 1700-tallet.

Begge oppgavene kan løses med et vanlig sjakkbrett og noen brikker, og passer godt som hjernetrim for både barn og voksne.

Gjør sjakk deg bedre i matte? Dette sier forskningen

Mange skoler rundt i verden har innført sjakk i undervisningen i håp om å styrke elevenes matteferdigheter. Forskningen gir et blandet bilde.

Hva betyr dette i praksis?

• Overføring er vanskelig. Ferdigheter man lærer i sjakk, overføres ikke automatisk til andre fag. Forskere kaller dette overføringsproblemet: det er lettere å bli bedre i det man faktisk øver på enn i noe annet.
• Motivasjon kan forklare mye. En del av effekten kan skyldes at sjakk er nytt og engasjerende, ikke sjakken i seg selv. Derfor er studier med en aktiv kontrollgruppe viktige.
• Mengde betyr noe. Studiene som viser effekt, har gjerne minst én time sjakk i uka gjennom et helt skoleår.

Kort sagt: sjakk er en god arena for logisk tenkning, konsentrasjon og tallforståelse i praksis, men det er ingen snarvei til bedre mattekarakterer.

Når sjakk ikke er nok

Sjakk trener ferdigheter som å planlegge, telle materiell og se sammenhenger. Men sjakk lærer deg ikke brøkregning, negative tall eller likninger. Har en elev hull i grunnleggende matematikk, må disse tettes med målrettet øving i selve faget.

Et vanlig tegn er at eleven klarer regneoppgavene når metoden er kjent, men står fast så snart oppgaven krever forståelse, for eksempel når 1/2 + 1/3 blir 2/5 i stedet for 5/6. For foreldre og elever som vil finne ut hvor slike hull ligger, har nettstedet mattehjelp en grundig gjennomgang av de vanligste hullene og hvordan de kan tettes hjemme eller sammen med en lærer.

Sjakk kan godt brukes ved siden av, som en motiverende måte å øve på hoderegning og logikk på. Det viktigste er at det ene ikke erstatter det andre.

Slik bruker du sjakk til matteøving hjemme

Vil du bruke sjakk bevisst til å øve på tall og logikk, er her noen enkle idéer:

• Koordinatlek. Rop opp et felt, for eksempel «f6», og la barnet peke på det så raskt som mulig. Bytt roller.
• Materielltelling. Stopp partiet med jevne mellomrom og la barnet regne ut hvem som leder, og med hvor mye.
• Byttevurdering. Før hvert slag spør du: «Hva gir vi, og hva får vi?» Da blir hvert bytte et lite regnestykke.
• Dobbeltelling med korn. Bruk sjakkbrettlegenden og en kalkulator for å regne ut hvor mange korn som ligger på de første 10–20 feltene.
• Åtte dronninger. Prøv å finne én løsning sammen. Det er en god øvelse i systematisk prøving og feiling.

Er barnet nytt i spillet, er det lurt å starte med sjakkreglene for nybegynnere. Vil dere spille mot andre eller på nett, finner du flere muligheter på siden om å spille sjakk.

Oppsummering

Sjakk og matematikk deler mye: koordinater, poeng, logiske slutninger og tall som vokser eksponentielt. Sjakkbrettet er et konkret koordinatsystem, brikkeverdiene gir hoderegning i hvert trekk, og klassiske oppgaver som åtte dronninger og springerturen har fascinert matematikere i århundrer.

Forskningen viser at sjakk kan ha en moderat positiv effekt på matematikk, men effekten er usikker og avhenger mye av hvor mye og hvordan man spiller. Bruk derfor sjakk som et morsomt supplement til matteøvingen, ikke som en erstatning for den.